Formulaire réalisé avec les participants à la Master Classe du mercredi 5 janvier 2022.
La dérivée de \(kf\) est \(kf'\) lorsque \(k\) est un nombre constant ;
la dérivée de \(\frac{f}{k}\) est \(\frac{f'}{k}\) lorsque \(k\) est un nombre constant (car \(\frac{f}{k} = \frac{1}{k} \times f\)) ;
la dérivée de \(\frac{f}{g}\) est \(\frac{f' g - fg'}{g^2}\) lorsque \(g\) est une fonction aussi.
Lorsque \(c = 0\) on peut factoriser par \(x\) ce qui donne une équation produit et dispense de calculer \(\Delta\).
Exemple \(\frac{x^2}{2} + x = 0 \Leftrightarrow x \left( \frac{x}{2} + 1 \right) = 0\) qui donne \(S = \{ - 2, 0 \}\), conforme à ce que l'on peut trouver avec \(\Delta\).
Équation de la tangente \(\mathcal{T}_a\) en \(a\) à \(\mathcal{C}_f\) : \(y = f' (a) (x - a) + f (a)\).
C'est une racine parmi les suivantes : \(\{ - 1, 0, 1, 2 \}\)
Trois cas possibles :
On peut factoriser (exercice pouvant être proposé en classe de seconde).
Exemple : \(x^3 - x^2 - x - 1 = 0\) se factorise astucieusement par \(x^2 (x - 1) - (x - 1) = 0\) puis en \((x - 1) (x^2 - 1) = 0\) qui se résoud par équation-produit.
On ne voit pas de factorisation astucieuse, mais on voit une racine évidente. Alors on applique le principe suivant (exercice pouvant être proposé en classe de première spécialité maths) :
Soit \(m\) une racine évidente d'un polynôme de degré 3 du type \(c_3 x^3 + c_2 x^2 + c_1 x + c_0\).
Alors que ce polynôme s'écrit \((x - m) (ax^2 + bx + c)\) et l'on trouve \(a, b, c\) par identification.
Exemple : \(x^3 - 3 x^2 + 4 x - 2 = 0\), on trouve \(x = 1\) racine évidente, donc l'équation équivaut à
\((x - 1) (ax^2 + bx + c) = 0\) et l'on trouve \(a, b, c\) par identification puis il restera un second degré à résoudre.
On ne voit ni factorisation astucieuse, ni racine évidente, alors on peut voir le nombre de solutions par le tableau de variations, trouver leur valeur approchée par ordinateur, ou bien résoudre à la main mais c'est du niveau d'un exercice de math sup.