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mais… avant de venir vous avez peut-être envie de savoir… qui suis-je ?…

j’ai un double parcours :

• rigueur et passion avec l’agrégation de maths en 1998 : j’ai, depuis, toujours enseigné cette discipline extraordinaire, dans laquelle je baigne encore aujourd’hui
• sensibilité et conscience : toujours en quête de découvrir qui je suis et pourquoi cette connexion et quels mots poser dessus ; avec un parcours personnel malmené par des bonnes et des mauvaises rencontres,

aujourd’hui, la Rivière qu’est ma vie, entre torrent de montagne et océan, me conduit à vous proposer un pont entre l’esprit de géométrie et l’esprit de finesse

la fleur de vie et le nombre d’or sont deux fascinations que nous offre la géométrie… cependant il y en a d’autres…
regardez un simple carré… ressentez-vous sa force ? la façon dont il canalise votre Esprit, votre Être ?
rentrez dans le cercle, éternel et universelle forme Géométrique de la Vie… comprenez-vous ?

la géométrie est là, ce n’est pas nous qui la créons
comme le Soleil : il arrive, quand il arrive… mais c’est juste parce que notre planète tourne ; quand nous ne le voyons pas parce que nous dormons… il continue quand même à offrir ses réactions nucléaires
Et bien, la Géométrie… c’est pareil

bienvenue dans cette journée de découverte, ensemble

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Jantes alu, frisson de la vitesse qui nous hante et nous tue.
Pose-toi, écoute cette petite fleur, cette étoile de verdure, ce témoignage de la vie et de la beauté.
Le pentagone régulier, ce flocon à cinq branches, c’est une sorte de malle sans fond dont on n’épuise jamais les trésors. On y trouve le fameux nombre d’or [latex]\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}[/latex]…
Faire des maths, est-ce autre chose qu’observer et dé-couvrir ?

Petits points qui se dessinent comme les traces de pas d’un oiseau qui sautille. Comme le mouvement des yeux d’un enfant qui babille. Et comme le destin de la conscience qui s’habille, qui s’habille de tous les chemins qui la vie emprunte quand on y chemine. Et rares sont les vols d’oiseau, et fréquents les détours, les retours, et l’humour, parfois, du destin qui nous joue des tours.
Et si l’on dessinait le chemin de toute cette danse qu’est notre vie (quand nous vivons…) on verrait comme un graphe (théorie des graphes, filière ES) se déployer, changeant de forme aussi souvent qu’un caméléon change de couleur.
Mais alors, que suis-je au milieu de tous ces mouvements de mes yeux… quelle couleur choisir et vers où vont mes pas. Ils vont, peut-être faut-il juste s’appuyer sur cela.

Une fenêtre qui s’ouvre sur le rêve, et que vois-tu quand tes yeux se posent ? Il suffit d’observer un enfant pour réaliser qu’on projette tous un sentiment différent sur chaque objet regarder. Quand on regarde tout l’imaginaire qui entoure une perception, on pourrait penser,  en informatique d’aujourd’hui, à ce qu’on appelle le cloud, et en mathématiques, à la notion de halo (théorie de l' »analyse non-standard », enseignée dans de rares lycées sous la nom « analyse par les ordres de grandeur« ). On peut penser à Magritte, « ceci n’est pas une pipe » : parce qu’il n’y a peut-être pas de chose en soi, objective, neutre, pure, sans pensée autour. Ici sur cette image, la forme de la vitre vient voyager, comme un bout de ciel qui, en parallèle, rebondirait d’un carré à l’autre.

Une petite sphère en verre qui sert de vase pour une rose, et des vagues bleues, rouges, vertes, qui viennent sinuer autour d’elle, l’une plongeant vers le ciel, l’autre vers la terre, comme les inspirations qui nous traversent sans qu’on puisse les prévoir, et qui viennent d’on ne sait où.

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Comment aller sur la Lune ? Avec le principe de récurrence, tout est faisable. Le raisonnement est le suivant : Si je sais construire une échelle pour monter à une hauteur donnée par exemple 6m, alors je sais aussi en construire une pour monter à 7m, il me suffit de rajouter quelques barreaux à ma construction.

On appelle cela hérédité de la récurrence : si je sais faire une échelle qui monte à h, je sais en faire une qui monte à h+1.

Alors pour aller sur la Lune avec le principe de récurrence, aucun problème, il me suffit d’apprendre à faire une échelle qui monte à une hauteur donnée, 1m par exemple (initialisation de la récurrence), et le tour est joué. Car, grâce à l’hérédité, si je sais monter à 1m, et bien je sais monter à 2m, mais si je sais monter à 2m, je sais monter à 3m et ainsi de suite…

Une propriété héréditaire a juste besoin d’être validée pour une valeur du paramètre (initialisation), pour être vraie pour toute valeur du paramètre.

Le principe de récurrence constitue un pont entre le fini et l’infini, puisqu’un la possibilité d’un seul pas implique finalement la possibilité de traverser toute la mesure de l’univers.

Comme souvent, évidemment, les mathématiques modélisent la réalité en mettant de côté certaines contraintes :

– Prenons l’exemple de la cigarette. Je peux raisonnablement affirmer que si je sais m’en priver pendant n jours, je sais aussi m’en priver pendant n+1 jours, il me suffit de patienter un jour de plus. Donc je n’ai qu’à m’en priver pendant 1 jour, et le tour est joué ! Merci l’hérédité… Évidemment, le principe de récurrence ignore que les gouttes d’eau peuvent faire déborder les vases.

– Un autre exemple intéressant : s’il peut exister des hommes de 2m de taille, alors il doit bien pouvoir en exister de 2,10m de taille. Il suffit de chercher un peu plus. À partir de là, vu que je mesure 1,80m, ma récurrence est initialisée, et donc je dois pouvoir trouver des hommes de taille quelconque sur la planète. À cet argument Descartes répondrait par une considération qu’on évoque en cours de physique quand on parle des ordres de grandeur, et qui repose sur le fait que si un dé a un côté 2 fois plus grand qu’un autre dé, alors l’aire de ses côtés est 4 fois plus grande (2×2) et son volume est 8 fois plus grand (2x2x2). Et ainsi, si je multiplie abstraitement ma taille par 2, alors la surface de ma peau est multipliée par 4, mais mon volume, donc mon poids, est multiplié par 8. Ainsi, 4 fois plus de peau doit supporter 8 fois plus de pression, ce qui finit par faire penser qu’un tel corps doit exploser.

Alors, comment intégrer le principe de récurrence dans notre quotidien ?

L’écrivain Mark Twain (Tom Sawyer) disait (dans quel ouvrage ?) : « On ne se débarrasse pas d’une habitude en la jetant par la fenêtre, il faut lui faire descendre les escaliers marche par marche. ». Et voilà l’exemple d’une récurrence qui fonctionne, si l’on ne néglige pas l’énergie qu’il faut pour descendre une marche et le temps qu’il faut pour s’accoutumer à chaque étage avant de continuer.

Alors, inspirons-nous du principe de l’effet cumulé, qui affirme qu’une action, même toute petite, du moment qu’elle est répétée avec discipline, aura forcément un effet. Dans la vraie vie, la récurrence ne mène pas jusqu’à la Lune ni jusqu’à l’infini, mais elle nous délivre deux enseignements :

– L’enseignement de l’hérédité, qui nous explique que, de même que Descartes divisait la difficultés en sous-difficultés plus appréhendables, de même, par la discipline de la répétition, on peut aboutir à des résultats qui paraissent impossibles et qui sont des transformations de nous-mêmes : on peut, oui, changer nos habitudes, on peut s’élever toujours plus haut en connaissance, en habileté, en enthousiasme. Quelque part, se transformer, c’est comme atteindre l’infini, car c’est dépasser tout le confort qui nous fait demeurer dans des cercles répétitifs. Quelque part, donc, l’inaccessible devient accessible.

– L’enseignement de l’initialisation, qui nous rappelle que, dans toute action, ce qui compte, c’est le premier pas. Comme disait Coluche : « j’ai demandé à Dieu pourquoi mes prières pour gagner au Loto ne fonctionnaient pas, et il m’a répondu : « joue, imbécile ! » ».

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Le premier est appelé infini de [latex]\mathbb{Q}[/latex] ou infini discret, il concerne les points. Métaphoriquement, et en transposant à la psychologie, je dirais que la distance entre deux êtres, c’est cet infini. En effet, je peux m’approcher de toi, mais jamais être toi. Ainsi donc, la distance qui sépare celui ou celle que tu es de celui ou celle que je suis est infranchissable. Si les âmes peuvent être poétiquement vues comme des étoiles, la distance entre elles, proche ou lointaine, n’est que vue de l’esprit, car fondamentalement, cette distance est infinie, autant d’infinités que d’âmes séparées.

Le second infini est appelé infini de [latex]\mathbb{R}[/latex] ou infini continu, et il concerne les lignes. Métaphoriquement, en transposant à la psychologie, je dirais que ce qui relie deux êtres, ce sont les liens qu’ils peuvent tracer entre eux. Deux êtres peuvent nouer une relation, par la parole, les sentiments, les petits ou grands moments vécus ensemble, c’est comme un écheveau qui unirait les êtres : [latex]\infty[/latex]. Plusieurs êtres peuvent se rassembler, imaginons-les autour d’un feu : le lien entre les âmes prend alors la forme d’un cercle : [latex]\bigcirc[/latex]. Ainsi, cet infini-là, étant entremêlé entre tous les points de lumières que les âmes représentent, est bien plus dense que le premier.

Mathématiquement, on dit que l’infini discret est plus petit que l’infini continu.

Métaphoriquement, on pourrait dire que l’infini de la multitude est petit devant l’infini de l’amour qui régit le mystère de notre présence et des liens que nous pouvons creér entre nous et l’univers.

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Petit abrégé de maths à l’intention des humains.

Aube des idées émergentes
Le soleil levant colore la nuit en teintes chaudes
C’est le moment de l’espoir;
les équations jusqu’ici insolubles trouveront peut-être enfin leur solution.
Elles sont au nombre de sept :

1. Y a-t-il une limite à l’escalade des processus ?
2. Le déroulement des jours doit-il être une fonction périodique ?
3. La fonction conscience est-elle croissante en fonction du temps ?
4. Le polygone des contraintes imposé par la société permet-il à l’individu un réel épanouissement?
5. Bulles, pluies et vent: comment les saisir ?
6. Où est l’inconnue ?
7. Quelle est la dimension des dimensions ?

Le froid est saisissant ce matin; malgré tout, la nature est si belle. Au milieu de l’émerveillement, y a-t-il encore une place pour la pensée ?

1) Y a-t-il une limite à l’escalade des processus ?

Il semblerait que non; les conflits viennent de ce qu’aucun des deux protagonistes ne parvient à rompre l’escalade des réactions, œil pour œil, mots pour mots, bâton pour bâton, et dent pour dent. Dans les conflits nous devenons robots cherchant le dernier mot. Nous devenons processus mental qui n’a de cesse de vaincre autrui. Il semblerait qu’il n’y ait pas de limite à cette escalade, jamais, ni dans le monde, ni dans nos petites vies. Tu frappes je réponds tu transgresses je t’agresse tu tires je te fais taire tu insultes je catapulte tu protestes je t’expulse.
Stop.
Cesser de réagir de répondre de blesser d’être esclave de nos pensées. Regarder écouter attendre et dire c’est assez, tendre la main pour enfin mettre fin à ces guerres à ces doutes à la haine et aux murs qui séparent qui limitent qui enferment et qui figent les ténèbres.

Le soleil pose ses premiers regards sur le monde comme le maître chez Miyazaki (1). Il embrasse ses forêts ses lacs bleus ses oiseaux. Dissous les mots, les pierres, les larmes…

2) Le déroulement des jours doit-il être une fonction périodique ?

J’me lève, j’enfile mon sweat, j’arrive en retard, voilà, dix mille heures de cours, un tableau noir qui se remplit et puis s’efface et recommence; je préfèrerais un ciel bleu qui se remplit d’arc en ciel puis se vide à nouveau, transparent. Et toujours le même rythme, regardez moi dit la télé, écoutez moi dit le portable, respire moi dit l’air, on dirait que tout s’enroule comme la droite des réels autour du cercle trigo, tout le temps, toujours pareil, les mêmes angles, les mêmes perspectives, les mêmes points de vue, ça tourne, ça baigne mais qui suis-je dans ce pareil au même ?

La lumière du matin se développe; naissance du monde, un cerf passe et ne me regarde pas; le monde au moins sait il que je suis là ? Tout renaît, tout est neuf et tout m’ignore.

3) La fonction conscience est-elle croissante en fonction du temps ?

Il semblerait que non, encore une fois. Parce que Cromagnon branché sur notre technologie n’agirait sûrement pas plus sauvagement que ceux qui, bien que nés au XXème siècle, détruisent, blessent, vendent trafiquandent et contrebandent, exacerbent les désirs de revanche.
Dimanche un enfant sur l’eau qui fait la planche, il rêve « peut-être que si je me concentre sur les reflets joueurs du soleil entre les vagues, je vais éclairer mon esprit des lumières irisées et devenir plus sage »
Stop, pourquoi toujours plus de moyens et jamais plus de sagesse ? Il est urgent de penser poétiquement, de revisiter nos ambitions avec une conscience plus naïve plus fraîche plus directe plus aimante. Se laisser mener un peu par le rêve, partir à la dérive, je positive…

Le jour s’impose, les mystères de la nuit puis de l’aurore cèdent la place à la claire conscience; je te vois, tu me vois, qui sommes nous l’un pour l’autre à présent que le mystère s’est dissipé.

4) Le polygone des contraintes imposé par la société permet-il à l’individu un réel épanouissement?

Oui: libre de penser, libre d’opiner, libre d’écouter la télé et de répondre au grand ciel vide par un cri que seul l’écho entendra. Libre d’acheter, libre de passer le temps quand il passe sur toi. Libre de désirer être libre, libre de rêver de l’inouï pour éloigner le premier pas qu’on fait vers lui. À quand la fin de tous les polygones, à quand leur déconstruction, jetons tous les segments, les barreaux de prison aussi en sont. Vivent les courbes, le vol d’un aigle en spirale, le creux d’une vague sauvage, le cou d’un cygne qui glisse sur l’eau sans savoir qui il est, l’œil d’un enfant qui regarde vers demain comme on regarderait une autre planète.

Jours brouillés, fraîcheur de brumes, mon regard gris a oublié l’aurore et la couleur du feu; où regarder à présent… nulle part… on ne retrouve pas l’heure perdue par un simple coup d’œil; être; attendre; dégriser peut-être…

5) Bulles, pluies et vent: comment les saisir ?

Bulles de savon, de poisson, d’eau pétillante… les idées semblent émerger de notre pensée comme ça, sans contrôle, et tu ne sais ni d’où elles viennent ni comment elles arrivent. Sauvages. Indéchiffrables. L’écheveau des pensées serait-il inextricable ? Et dans le monde les idées vont et viennent d’une tête à l’autre, deux chercheurs éloignés qui trouvent le même résultat au même moment; un poète, un matheux inventent en même temps la même idée, traduite par des mots différents. Et s’en vont et s’en viennent les tendances et les nouveaux schémas, alizés, brises ou tramontanes de notre pensée. Et toi, comment vas tu t’intégrer à la créativité des hommes ? Comment vas-tu apporter ta pierre, ta goutte de lumière ta perle de verre…

Respire dit l’hippocampe
ferme les yeux dit la pluie
et avance sans désir
les yeux fermés,
aveugle aux lèvres d’or qui marche sur la neige (2)

La nostalgie de l’aube cède le pas au désir du crépuscule, retrouver à l’envers le moment merveilleux entre jour et nuit, silence et parole, tout et rien; l’attendre à rebours. Il viendra. S’il vient…

6) Où est l’inconnue ?

L’inconnue est derrière toi, dans la nuit qui t’a précédé. Avant que tu n’ouvres les yeux on pouvait voir tes étoiles mais tout a disparu. Tu as chassé x, tu as essayé de l’éliminer des équations de ta vie; tout te pousse à dire enfin, peignons le réel à la lumière de ce que l’on sait, restreignons notre horizon pour avoir une vie cadrée, soyons bien stable au milieu de nos quatre points cardinaux, au-delà ça n’existe pas.
Effacées les traces de pas sur le sable, le mystère est perdu, perdu; tu as essayé le produit en croix, la mise au carré, l’identification, la dérivation, mais rien n’y fait

Fin d’après midi, les sens en éveil, la nature tout entière vibre de l’approche de l’instant magique; l’instant où l’obscur va englober le clair, où l’espace va avaler le temps, où demain va avaler aujourd’hui. La source où disparaîtra tout ce que tu as créé, imaginé, dessiné, projeté pendant la journée; le dernier point de la droite; l’ultime horizon du plan; les limites inaccessibles de l’espace à trois dimensions.

7) Quelle est la dimension des dimensions ?

Dimension 1, tu glisses entre deux contraires sans pouvoir sortir de l’alternative. Dimension 2, tu nages entre abscisses et ordonnées, entre réel et imaginaire,et tu escalades les courbes asymptotiques. Dimension 3, tu ouvres le ciel sur l’axe des z,  dimension 4 tu mélanges le temps et l’espace, dimension 1001 tu te meus dans l’enfance et retrouves les grands mythes, dimension cent milliard, une âme pour chaque étoile (3).
Dimension des dimensions, où s’arrête la course folle vers la complexité de la conscience… Qui sait ? Désirer savoir… Savoir désirer…

Nuit déjà;
 tu n’as rien vu venir;
aucune clochette n’a résonné pour te prévenir
 de l’instant qu’il fallait frémir;
 de l’image qu’il fallait périr;
 de l’enfin qu’il fallait soupir.

Noir absolu,
tout seul
 sur ton astéroïde au milieu des astéroïdes,
 sur ton soleil au milieu des soleils,
 sur ton monde au milieu des mondes.
Plus rien.
Fini.

Lexique:

Limite (1ère): valeur finie dont une grandeur finit par se rapprocher.
Exemple: tu peux repousser à demain ce qu’il y a d’essentiel dans ta vie, mais un jour ou l’autre il faudra bien t’y mettre: la fonction flemme possède donc une limite.
Contrexemple: tu peux compter les étoiles dans le ciel sans jamais atteindre une limite.

Fonction périodique (2nde): fonction dont les valeurs se répètent identiquement au cours du temps. Exemple: le déplacement des oiseaux migrateurs sur la Terre était périodique avant que les effets de la pollution ne perturbent tout.
L’idée de fonction périodique est intimement liée à celle de rythme. Les rythmes et donc les fonctions périodiques sont au cœur de notre existence: battements de ton cœur, heures de sommeil dont tu as besoin, nombre d’exercices donnés chaque semaine par ton prof de maths, l’histoire de ta vie qui semble se répéter expérience après expérience.

Fonction croissante (2nde): fonction qui augmente sans jamais diminuer.
Exemples: les soucis (pour certaines personnes); l’absence de soucis (pour d’autres…)
Contrexemple: l’espoir en l’avenir recule souvent de quatre pas après avoir avancé d’un seul.

Polygone des contraintes (1ère STG): ensemble des valeurs possible pour x et y en fonction des contraintes de l’énoncé. Exemple: l’ensemble des aspirations que tu t’autorises à exprimer est limité par le polygone ICQ, I=l’image que les autres doivent avoir de moi, C=ma crainte pour l’inconnu, Q=les contingences quotidiennes

Bulles, pluie et vent (maternelle supérieure):
Exemple: bulles de savon soufflées par un enfant un après midi de printemps. Pluie sans contours qui dessine sur le carreau les lignes de ta tristesse. Vent d’autan, vitesse du temps, va-t’en et laisse moi contempler le ciel sereinement.

 L’inconnue (4ème): la grandeur x que l’on cherche à situer mais qu’on ne trouve jamais.
Exemple:

Je fais souvent ce rêve étrange et pénétrant
    d’une femme inconnue et que j’aime et qui m’aime
    et qui n’est chaque fois ni tout à fait la même
    ni tout à fait une autre et m’aime et me comprend… (4)

Réels et imaginaires (Tle S, 1ère STI): Gauss (XIXe) a imaginé le plan complexe, système de représentation dans lequel les nombres réels sont en abscisse et les nombres imaginaires en ordonnée.

Courbes asymptotiques (Tle): courbe simple constituant l’ossature d’une autre courbe plus compliquée.
Exemple: le rêve devrait toujours être à l’asymptote de l’action.

Dimension (bac+5): saut de la pensée par lequel une courbe peut par exemple recouvrir tout un plan. On peut définir  avec n le facteur d’« augmentation » pour un agrandissement de rapport k. La dimension est alors donnée par la formule « d » ci-dessous. Par exemple dans un agrandissement de rapport k, une surface voit son aire augmenter de k^2 d’où la dimension 2 d’une surface classique.
Dans le cas de la courbe du flocon de neige de von Koch, si on prend la courbe limite (celle du bas) et qu’on la zoome 3 fois, on obtient elle même en quatre exemplaires, d’où n=4 et k=3 d’où la dimension non entière 1,262 de cette courbe.

Certains aspects changent à partir de la dimension 5 (les polyèdres réguliers s’appauvrissent, les équations plynômiales ne sont plus apprivoisées…)
Plusieurs modèles mathématiques existent pour la dimension 4; celui adopté pour la relativité adopte le temps comme quatrième dimension dans un espace non euclidien.

À présent je t’aime en deux dimensions
comme une figure étrusque
un tableau de Klee qui fut poisson
tu t’avances dodécaphonique
exaspérante,
fulgurante
belle…

…avec dans ta jupe plissée
une vague des Caraïbes
visage idôle eau
arrivée à moi
comme la lumière d’une étoile
qui aurait disparu depuis des siècles
À présent je t’aime en deux dimensions. (5)

(1)  Hayao Miyazaki, Princesse Mononokê
(2)  Claude Roy, la nuit
(3) Arthur C. Clarke dans 2001 l’odyssée de l’espace (repris par Kubrick) remarque que le nombre d’humains ayant vécu sur la Terre jusqu’à ce jour est d’environ cent milliard, équivalent à celui des étoiles dans notre galaxie.
(4) Verlaine, Mon rêve familier (Poèmes saturniens)
(5)  Odysseus Elytis (écrivain grec, prix Nobel), Hymne en deux dimensions.

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