Les mots utilisés dans leur acception mathématique sont en italique.
Comment aller sur la Lune ? Avec le principe de récurrence, tout est faisable. Le raisonnement est le suivant : Si je sais construire une échelle pour monter à une hauteur donnée par exemple 6m, alors je sais aussi en construire une pour monter à 7m, il me suffit de rajouter quelques barreaux à ma construction.
On appelle cela hérédité de la récurrence : si je sais faire une échelle qui monte à h, je sais en faire une qui monte à h+1.
Alors pour aller sur la Lune avec le principe de récurrence, aucun problème, il me suffit d’apprendre à faire une échelle qui monte à une hauteur donnée, 1m par exemple (initialisation de la récurrence), et le tour est joué. Car, grâce à l’hérédité, si je sais monter à 1m, et bien je sais monter à 2m, mais si je sais monter à 2m, je sais monter à 3m et ainsi de suite…
Une propriété héréditaire a juste besoin d’être validée pour une valeur du paramètre (initialisation), pour être vraie pour toute valeur du paramètre.
Le principe de récurrence constitue un pont entre le fini et l’infini, puisqu’un la possibilité d’un seul pas implique finalement la possibilité de traverser toute la mesure de l’univers.
Comme souvent, évidemment, les mathématiques modélisent la réalité en mettant de côté certaines contraintes :
– Prenons l’exemple de la cigarette. Je peux raisonnablement affirmer que si je sais m’en priver pendant n jours, je sais aussi m’en priver pendant n+1 jours, il me suffit de patienter un jour de plus. Donc je n’ai qu’à m’en priver pendant 1 jour, et le tour est joué ! Merci l’hérédité… Évidemment, le principe de récurrence ignore que les gouttes d’eau peuvent faire déborder les vases.
– Un autre exemple intéressant : s’il peut exister des hommes de 2m de taille, alors il doit bien pouvoir en exister de 2,10m de taille. Il suffit de chercher un peu plus. À partir de là, vu que je mesure 1,80m, ma récurrence est initialisée, et donc je dois pouvoir trouver des hommes de taille quelconque sur la planète. À cet argument Descartes répondrait par une considération qu’on évoque en cours de physique quand on parle des ordres de grandeur, et qui repose sur le fait que si un dé a un côté 2 fois plus grand qu’un autre dé, alors l’aire de ses côtés est 4 fois plus grande (2×2) et son volume est 8 fois plus grand (2x2x2). Et ainsi, si je multiplie abstraitement ma taille par 2, alors la surface de ma peau est multipliée par 4, mais mon volume, donc mon poids, est multiplié par 8. Ainsi, 4 fois plus de peau doit supporter 8 fois plus de pression, ce qui finit par faire penser qu’un tel corps doit exploser.
Alors, comment intégrer le principe de récurrence dans notre quotidien ?
L’écrivain Mark Twain (Tom Sawyer) disait (dans quel ouvrage ?) : « On ne se débarrasse pas d’une habitude en la jetant par la fenêtre, il faut lui faire descendre les escaliers marche par marche. ». Et voilà l’exemple d’une récurrence qui fonctionne, si l’on ne néglige pas l’énergie qu’il faut pour descendre une marche et le temps qu’il faut pour s’accoutumer à chaque étage avant de continuer.
Alors, inspirons-nous du principe de l’effet cumulé, qui affirme qu’une action, même toute petite, du moment qu’elle est répétée avec discipline, aura forcément un effet. Dans la vraie vie, la récurrence ne mène pas jusqu’à la Lune ni jusqu’à l’infini, mais elle nous délivre deux enseignements :
– L’enseignement de l’hérédité, qui nous explique que, de même que Descartes divisait la difficultés en sous-difficultés plus appréhendables, de même, par la discipline de la répétition, on peut aboutir à des résultats qui paraissent impossibles et qui sont des transformations de nous-mêmes : on peut, oui, changer nos habitudes, on peut s’élever toujours plus haut en connaissance, en habileté, en enthousiasme. Quelque part, se transformer, c’est comme atteindre l’infini, car c’est dépasser tout le confort qui nous fait demeurer dans des cercles répétitifs. Quelque part, donc, l’inaccessible devient accessible.
– L’enseignement de l’initialisation, qui nous rappelle que, dans toute action, ce qui compte, c’est le premier pas. Comme disait Coluche : « j’ai demandé à Dieu pourquoi mes prières pour gagner au Loto ne fonctionnaient pas, et il m’a répondu : « joue, imbécile ! » ».